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By Michael Oberguggenberger, Alexander Ostermann

Diese grundlegende Einführung wendet sich an Informatiker im ersten Studienabschnitt und soll die für das Studium benötigten Konzepte und Werkzeuge aus dem Gebiet der research bereitstellen. Um speziell auf die Bedürfnisse des Informatikstudiums einzugehen, haben die Autoren diesem Werk folgende Konzepte zugrunde gelegt:

Algorithmischer Zugang

Schlanke Darstellung

Software als integrativer Bestandteil

Betonung von Modellbildung und Anwendungen der research.

Der Gegenstand des Buches liegt im Spannungsfeld zwischen Mathematik, Informatik und Anwendungen. Hier kommt dem algorithmischen Denken ein hoher Stellenwert zu. Der gewählte algorithmische Zugang beinhaltet:

Entwicklung der Grundlagen der research aus algorithmischer Sichtweise

Vergegenständlichung der Theorie mittels MATLAB- und Maple-Programmen und Java-Applets

Behandlung grundlegender Konzepte und Verfahren der numerischen research.

Das Buch kann ab dem ersten Semester als Vorlesungsgrundlage, als Begleittext zu einer Vorlesung oder im Selbststudium verwendet werden.

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Die Euler’sche1 Zahl e ist definiert durch 1 1 1 1 + + + + ... 1 2 6 24 1 1 1 1 = 1 + + + + + ··· = 1! 2! 3! 4! e = 1+ ∞ j=0 1 j! 7182818 . . Dass dieses Addieren von unendlich vielen Zahlen sinnvoll definiert werden kann, werden wir im Kapitel 5 durch R¨ uckf¨ uhrung auf die Vollst¨andigkeit der reellen Zahlen beweisen. Der Logarithmus zur Basis e heißt nat¨ urlicher Logarithmus und wird einfach mit log bezeichnet: log x = loge x Vorsicht – in manchen B¨ uchern bezeichnet log x den Zehnerlogarithmus und ln x den nat¨ urlichen Logarithmus.

Die entscheidenden Beweisideen waren: Aufspaltung in zwei Summanden mit¨ tels Dreiecksungleichung (vgl. Ubung 2 aus Kapitel 1); Absch¨atzung von |an | durch 1 + |a| unter Verwendung der Konvergenz; Absch¨atzung der Terme |a − an | und |b − bn | durch Bruchteile von ε (wieder m¨oglich wegen der Konvergenz), sodass die Summanden zusammen unter ε bleiben. Alle elementaren Konvergenzbeweise der Analysis laufen in ¨ahnlicher Weise ab. Reellwertige Folgen, deren Glieder mit wachsendem Index n ins Unendliche wachsen, haben keinen Grenzwert im Sinne der oben gegebenen Definition.

2 Fortsetzung der Winkelfunktionen auf R 29 Funktionen Sinus und Cosinus auf das Intervall [0, 2π] erweitert. Es ergibt sich damit beispielsweise f¨ ur π ≤ α ≤ 3π 2 sin α = − sin(α − π), cos α = − cos(α − π), vgl. Abb. 8. F¨ ur beliebige Werte α ∈ R definiert man schließlich sin α und cos α durch periodische Fortsetzung mit der Periode 2π. Dazu schreibt man zun¨achst α = x + 2kπ mit eindeutigem x ∈ [0, 2π) und k ∈ Z. Anschließend setzt man sin α = sin (x + 2kπ) = sin x, cos α = cos (x + 2kπ) = cos x.

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