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By R. Courant (auth.)

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Der Satz von der Existenz eines Grenzwertes bleibt fiir solche Folgen bestehen. 3. Oberer und unterer Haufungspunkt, obere und untere Grenze einer Zahlenmenge. Wenn wir in der Konstruktion, die uns in Nr. 1 zu einer Haufungsstelle ~ gefuhrt hat, die jeweilige Auswahl der Teilintervalle durch die Bedingung treffen, daJ3 stets das lctzte Teilintervall genommen werden 5011, welches noch unendlich viele Punkte der Zahlcnmenge enthalt, so werden wir auf cinen bestimmten Haufungspunkt fJ gefiihrt, den wir den "oberen H aufungspunkt" oder "Limes superior" der Zahlenmenge nennen und abgekurzt mit lim sup odf'~ lim bezrichnen.

N =--2- § 4. Funktionen einer ganzzahligen Veranderlichen. 19 ist eine Funktion von n. Ebenso ist die Surnrne der erst en n Quadrat. zahlen eine Funktion der ganzzahligen Veranderliehen n 1). 2. Andere einfaehe zahlcntheoretisehe Funktionen sind der Ausdruek nl=1·2···n und die Binornialkoeffizienten (11)' =ll(n-l), ,(n-k+l) \k k! n! (n-k)! bei festern k. 3. Jede ganze Zahl n > 1, die nieht Prirnzahl ist, laJ3t sieh dureh rnehrere positive ganze Zahlen teilen, wahrend die Prirnzahlen nur dureh 1 und dureh sieh selbst teilbar sind.

Funktionen an einer ganzzahligen VeranderIichen n, betrachtet. Der Begriff des Grenzwertes tritt jedoch vielfach auch in Verb in dung mit dem Begriff einer stetigen Veranderlichen x und einer Funktion f (x) bei folgender Frage auf: Wir denken uns die Funktion durch eine Kurve reprasentiert und einen Punkt mit der Abszisse x auf der Kurve so bewegt, da/3 die Abszissc· sich immer mehr eincr bestimmten Zahl ~ niihert, - dabei kann die Bewegung auch hin und her laufen. Dann kann es der Fall sein, daB auch der Funktionswert f (x) einem bestimmten Grenzwert zustrebt.

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